Probabilidade A probabilidade é a probabilidade que algo acontecerá. Por exemplo, quando você ouve o relatório do tempo na manhã, e o weatherperson diz-lhe que há uma possibilidade de 20% da chuva que estão dizendo que a probabilidade da chuva é 20%.
Alguns conceitos importantes a compreender aqui são que se houver uma probabilidade de 20% que chova, há uma probabilidade de 80% que não chova. As probabilidades não podem adicionar até mais de 100%, e a soma de todas as várias possibilidades deve adicionar até 100%.
Em casos simples como uma aleta da moeda, ou na possibilidade da chuva, onde há somente 2 possibilidades, as 2 probabilidades adicionarão a 100%. Em algumas situações entretanto haverá mais de 2 possibilidades. Se nós calcularmos somente algumas das probabilidades, não adicionarão até 100%, porque nós não consideramos todas as possibilidades, mas aquelas possibilidades existem ainda, e devem adicionar até 100% no total.
Uma outra maneira escrever a mesma informação deve dizer que há uma probabilidade do 2 da chuva, e que há conseqüentemente uma probabilidade do 8 que não chova. A probabilidade total não pode ser mais de 1, e uma vez outra vez todas as possibilidades devem adicionar até 1.
Esses são alguns exemplos de onde usamos probabilidade em nosso dia a dia.
quarta-feira, 8 de outubro de 2008
Neste Bimestre aprendemos diversas coisas, como: probabilidade, análise combinatória, equações lineares, números binominais entre outros.
O que eu achei mais interessante foi Probabilidade, de acordo com minhas leituras, a probabilidade teve ínicio com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande axistência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de uma número em um experimento aleatório.
O que eu achei mais interessante foi Probabilidade, de acordo com minhas leituras, a probabilidade teve ínicio com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande axistência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de uma número em um experimento aleatório.
Amanda B.Sales Nogueira 2ºB
Permutação, Arranjo e Combinação
Combinação você usa quando quer agrupar coisas em que a ordem não importa, ou seja, só importa a variação. Por exemplo, você tem 5 Filmes e quer saber quantos grupos de 2 podem ser formados com eles, você faz combinação de 5 dois a dois; a ordem dos elementos não importa.Permutação é quando só importa a ordem, porque a Ordem não muda. Para saber quantas palavras podem ser formadas com as letras A, B, C e D, por exemplo. Deve-se fazer então permutação de 4 (4x3x2x1). A natureza não varia, são sempre os mesmos elementos em todas as opções.Por último, arranjo é quando tanto natureza quanto ordem influenciam.
Probabilidade: Definição
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade.
Com a Probabilidade, é possível calcular a chance de determinado evento ocorrer.
Para resolvermos um problema de Probabilidade, podemos usar a fórmula:
Onde:
n(U) é o número de elementos do espaço amostral.
n(A) é o número de eventos.
Sendo assim, é só dividirmos o número de eventos pelo número de elementos do espaço amostral.
Abaixo, um exemplo:
Qual a probabilidade de:
Obtermos um número menor que 3 no lançamento de um dado?
Resolução:
n(U): 1,2 (os dois números menores que 3 que temos em um dado)
n(A): 6 (número de elmentos de um dado, seis números).
* Após fazer a divisão, multiplicamos o resultado por 100, para obtermos o por cento.
Resposta: A probabilidade de obtermos um número menor que 3 no lançamento de um dado é de 33,3%.
Com a Probabilidade, é possível calcular a chance de determinado evento ocorrer.
Para resolvermos um problema de Probabilidade, podemos usar a fórmula:
Onde:
n(U) é o número de elementos do espaço amostral.
n(A) é o número de eventos.
Sendo assim, é só dividirmos o número de eventos pelo número de elementos do espaço amostral.
Abaixo, um exemplo:
Qual a probabilidade de:
Obtermos um número menor que 3 no lançamento de um dado?
Resolução:
n(U): 1,2 (os dois números menores que 3 que temos em um dado)
n(A): 6 (número de elmentos de um dado, seis números).
* Após fazer a divisão, multiplicamos o resultado por 100, para obtermos o por cento.
Resposta: A probabilidade de obtermos um número menor que 3 no lançamento de um dado é de 33,3%.
A ANÁLISE COMBINATÓRIA – Um resumo do 3º. Bimestre
Um pouco de História
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
A ANÁLISE COMBINATÓRIA é um dos tópicos que a Matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação de quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los.
Na análise combinatória estudamos dentro do princípio fundamental da contagem:- Fatorial - Arranjos simples - Permutação simples - Combinação - Permutação com elementos repetidos
Um rapaz possui 4 bermudas e 4 camisetas. De quantos modos diferentes ele pode se vestir, com essas roupas?
O quadro mostra que existem 4 . 4 = 16 modos diferentes para o rapaz vestir suas roupas.
Fatorial (!)
Sendo n um número natural maior que 1, definimos como fatorial de n (n!) o número:
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1
Lê-se n! como n fatorial. Observe os exemplos a seguir: 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 3! = 3 . 2 . 1 = 6 Por definição, para n = 0, temos 0! E, para n = 1, 1! = 1
Portanto o número de anagramas da palavra BANANA é:
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
A ANÁLISE COMBINATÓRIA é um dos tópicos que a Matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação de quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los.
Na análise combinatória estudamos dentro do princípio fundamental da contagem:- Fatorial - Arranjos simples - Permutação simples - Combinação - Permutação com elementos repetidos
Um rapaz possui 4 bermudas e 4 camisetas. De quantos modos diferentes ele pode se vestir, com essas roupas?
“b” - bermuda
“c” - camiseta
O quadro mostra que existem 4 . 4 = 16 modos diferentes para o rapaz vestir suas roupas.Fatorial (!)
Sendo n um número natural maior que 1, definimos como fatorial de n (n!) o número:
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1
Lê-se n! como n fatorial. Observe os exemplos a seguir: 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 3! = 3 . 2 . 1 = 6 Por definição, para n = 0, temos 0! E, para n = 1, 1! = 1
Permutação simples (Mudança de elementos)
Permutações simples Os arranjos simples, de classe n, de n elementos distintos são denominados permutações simples desses n elementos. Por exemplo, se A = {1, 2, 3}, as permutações simples de seus elementos são: 123, 132, 213, 231, 312 e 321.
Permutações com elementos repetidos
Permutações com elementos repetidos
Vamos considerar o número de anagramas da palavra Banana. Cada anagrama solicitado é uma permutação das letras B, A, N, A, N, A. Temos 6 letras; se todas fossem diferentes, teríamos P6= 6! = 720 anagramas.
Fixando a letra A em 3 dessas posições, assim teremos um único anagrama, pois há permutação de 3 letras. A entre se não cria novos anagramas.
Portanto o número de anagramas da palavra BANANA é:
Consideremos n elementos:
O número Pn (n1: n2: ...: nk) de permutações desse elementos será calculado por:
O número Pn (n1: n2: ...: nk) de permutações desse elementos será calculado por:Arranjos Simples
Sendo A um conjunto com n elementos distintos e p um número natural, de modo que p ≤ n, denominamos de arranjos simples dos n elementos de A, tomados p a p, os agrupamentos ordenados de p elementos diferentes que é possível formar com os elementos de A. O número p é denominado de ordem ou classe do arranjo. Indicamos o número de arranjos de n elementos, p a p, por An,p ou Apn. A fórmula de arranjos simples é:
Combinações Simples
Sendo A um conjunto com n elementos distintos e p um número natural e modo que p ≤ n, denominamos de combinações simples dos n elementos, tomados p a p, os agrupamentos de p elementos distintos e que diferem entre si somente pela natureza de seus elementos. O número p é denominado classe ou ordem da combinação. O número de combinações simples, de classe p, de n elementos é denotado por Cn, p ou Cnp. A formula geral é:
Arranjo ou Combinação ?
Ao resolvermos uma situação problema de análise combinatória encontraremos um agrupamento, é nesse momento que aparece a seguinte dúvida: “esse agrupamento é uma combinação ou um arranjo?”.
É preciso identificar corretamente que tipo de agrupamento o exercício está trabalhando, para isso é possível utilizar o seguinte critério: Escrevemos um dos agrupamentos que o exercício sugere, mudamos a ordem dos seus elementos. A partir dessa mudança iremos concluir que:
• Será um arranjo se essa mudança alterar o agrupamento original, pois sabemos que um arranjo pode ser diferenciado tanto pela natureza de seus elementos como pela ordem desses elementos.
• Será uma combinação se essa mudança não alterar o agrupamento original, pois sabemos que uma combinação é um arranjo que se difere apenas pela alteração na natureza de seus elementos.
Veja o exemplo de como fazer essa verificação.
Exemplo: Um pintor, dispondo de cinco cores diferentes de tinta pretende misturar três delas, em quantidades iguais, para obter uma nova cor. Quantas novas cores ele poderá obter?
Verificando se os agrupamentos sugeridos são arranjos ou combinações: Vamos supor que as cinco cores que o pedreiro possui são: amarelo, branco, verde, vermelho, azul.
Escolhendo um dos agrupamentos formados pela combinação de 3 tintas teremos: {azul, amarelo, branco}, se mudarmos a ordem desses elementos {amarelo, branco, azul} não irá alterar o agrupamento, portanto os agrupamentos montados serão combinações simples. Pra encontrar a quantidade de combinações possíveis basta aplicar a fórmula:
Portanto, é possível montar 10 combinações de 3 tintas com o grupo de 5 tintas
Probabilidades
Probabilidades
As probabilidades são uma maneira diferente de expressar a mesma informação, mas em uma maneira que seja frequentemente mais aplicável ao poker e a outros jogos gambling.
Quando a probabilidade for expressada como um número decimal, ou uma porcentagem, as probabilidades estão expressadas como 2 números separados por uns dois pontos tais como 5:1. Pela convenção esta notação indica que as probabilidades são 5 a 1 de encontro a ocorrer do evento.
Há umas maneiras diferentes de dizer a mesma coisa, e de explicar o que os números significam. No exemplo, deixe-nos supõem que o evento que nós estamos interessados dentro está começando 1 cartão particular que nós necessitamos a fim fazer nossa mão. A notação diz-nos que 5 vezes nós não começaremos o cartão que nós necessitamos, e 1 vez, nós começaremos o cartão nós necessitamos. Usar-se que o mesmo exemplo, nós começará o cartão que nós necessitamos 1 vez em 6 tentativas, ou 1/6.
As probabilidades são uma maneira diferente de expressar a mesma informação, mas em uma maneira que seja frequentemente mais aplicável ao poker e a outros jogos gambling.
Quando a probabilidade for expressada como um número decimal, ou uma porcentagem, as probabilidades estão expressadas como 2 números separados por uns dois pontos tais como 5:1. Pela convenção esta notação indica que as probabilidades são 5 a 1 de encontro a ocorrer do evento.
Há umas maneiras diferentes de dizer a mesma coisa, e de explicar o que os números significam. No exemplo, deixe-nos supõem que o evento que nós estamos interessados dentro está começando 1 cartão particular que nós necessitamos a fim fazer nossa mão. A notação diz-nos que 5 vezes nós não começaremos o cartão que nós necessitamos, e 1 vez, nós começaremos o cartão nós necessitamos. Usar-se que o mesmo exemplo, nós começará o cartão que nós necessitamos 1 vez em 6 tentativas, ou 1/6.
Probabilidade e cotidiano
O estudo da teoria das probabilidades é um instrumento que nos ajuda a estimar com o máximo de precisão possível o resultado de eventos, os quais, antecipadamente, não poderíamos saber o resultado. Ela aplica-se a quase todos os campos da área do conhecimento humano.
O cálculo das probabilidades é utilizado em muitos ramos do conhecimento, mas principalmente na estatística, quando deseja se fazer interferências a respeito de uma população a partir de dados coletados numa amostra. Na Biologia, por exemplo, quando queremos saber previsões de caráter genético, na política ( previsões eleitorais) a probabilidade desempenha un papel importante.
Ex: Probabilidade Condicional ( Biologia )
Em alguns problemas de genética é preciso calcular a probabilidade de ocorrência de um evento sobre o qual já temos alguma informação.
Como nesse exemplo: Pais normais e heterozigotos , para o albinismo, tem uma criança normal. Qual a probabilidade de que essa criança seja heterozigota?
A criança em questão já nasceu e não é albina , certo? Então não podemos contar a probabilidade de ser aa , pois não tem essa possibilidade. Logo dos 3 encontros gaméticos possíveis temos 2/3 de ser heterozigota e 1/3 de ser AA.
O cálculo das probabilidades é utilizado em muitos ramos do conhecimento, mas principalmente na estatística, quando deseja se fazer interferências a respeito de uma população a partir de dados coletados numa amostra. Na Biologia, por exemplo, quando queremos saber previsões de caráter genético, na política ( previsões eleitorais) a probabilidade desempenha un papel importante.
Ex: Probabilidade Condicional ( Biologia )
Em alguns problemas de genética é preciso calcular a probabilidade de ocorrência de um evento sobre o qual já temos alguma informação.
Como nesse exemplo: Pais normais e heterozigotos , para o albinismo, tem uma criança normal. Qual a probabilidade de que essa criança seja heterozigota?
A criança em questão já nasceu e não é albina , certo? Então não podemos contar a probabilidade de ser aa , pois não tem essa possibilidade. Logo dos 3 encontros gaméticos possíveis temos 2/3 de ser heterozigota e 1/3 de ser AA.
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