Arquimedes

A maioria dos detalhes da vida de Arquimedes são desconhecidos. Sabe-se que nasceu em Siracusa, na época uma cidade-estado da Magna Grécia cerca de 287 a.C. Seu pai foi um astrônomo chamado Fídias, do qual nada se conhece. Quando jovem, estudou em Alexandria, o centro do saber da época, com Cônon, um dos discípulos de Euclides. Embora na Antiguidade não houvesse clara distinção entre matemáticos (geómetras), físicos (cientistas naturais) e filósofos, Arquimedes destacou-se ao longo da sua vida principalmente como inventor e matemático.

Arquimedes morreu após a tomada de Siracusa durante a Segunda Guerra Púnica, cerca do ano 212 a.C.. Foi morto por engano por um soldado romano, apesar dos soldados terem ordens explícitas para defendê-lo, já que os romanos tinham uma enorme admiração por ele. Diz-se que quando os soldados romanos invadiram a praia de Siracusa, encontraram um velho senhor - o próprio Arquimedes - desenhando círculos na areia. Sem imaginar que esse era o génio responsável pela criação das poderosas armas sicilianas, assassinaram-no quando ele se negou a obedecer a suas ordens, porque não queria ver perturbado o raciocínio que seguia nesse momento. De acordo com o seu desejo, a sua sepultura foi decorada com o desenho de uma esfera dentro de um cilindro, que fazia parte de uma das suas demonstrações matemáticas favoritas.

ARQUIMEDES 287ac à 212ac

Arquimedes, filho de um astrônomo, foi o maior cientista e matemático da antiguidade. Estudou em Alexandria, onde seu professor Cônon havia sido, em seu tempo, aluno de Euclides. Regressou a sua cidade natal, provavelmente por causa das suas boas relações com o rei de Siracusa, Hierão II.Hierão pediu ao seu brilhante amigo para determinar se uma coroa, que havia acabado de receber do ourives, era realmente de ouro, como deveria ser, ou se tratava de uma liga de prata.Arquimedes foi intimado a realizar suas determinações sem estragar a coroa.O físico não atinava como proceder até que um belo dia, entrando em uma banheira cheia, notou que a água transbordava. Repentinamente ocorreu-lhe que a quantidade de água transbordada era igual em volume à parte do corpo nela mergulhada. Raciocinou então que, se mergulhasse a coroa na água, poderia determinar seu volume pela subida do liquido. Poderia mais ainda: comparar este dado com o volume de um pedaço de ouro de igual peso. Se os volumes fossem iguais, a coroa seria de ouro puro. Se a coroa fosse feita de uma liga de prata (mais volumosa que o ouro), teria um volume maior.Excitado ao mais alto grau pela sua descoberta do princípio de flutuabilidade, Arquimedes pulou para fora da banheira, e, completamente nu, correu pelas ruas de Siracusa até o palácio real aos gritos de Achei! Achei! (É preciso salientar que a nudez não perturbava tanto os gregos quanto a nós). Como Arquimedes falava grego, o que disse foi Eureka! Eureka! Esta expressão é usada desde então como exclamação apropriada ao prenúncio de uma descoberta. (A conclusão da história é de que a coroa incluía certa percentagem de prata, tendo sido o ourives executado).Arquimedes também desenvolveu o princípio da alavanca. Demonstrou que um pequeno peso situado a uma certa distância do ponto de apoio da alavanca pode contrabalançar um peso maior situado mais perto, sendo assim peso e distância inversamente proporcionais. O principio da alavanca explica por que um grande bloco de pedra pode ser levantado por um pé de cabra.Também calculou o valor de pi, obtendo um resultado melhor do que qualquer outro até então obtido no mundo clássico.Demonstrou que o valor real se encontrava entre 223/71 e 220/70. Usou para esse fim o método que consiste em calcular as circunferências e os diâmetros de polígonos traçados dentro e fora do círculo. Ao acrescentarem-se lados ao polígono, este se aproxima cada vez mais do círculo, em tamanho e área. Poderíamos considerar que dois mil anos antes de Newton, este brilhante homem foi precursor do Cálculo Diferencial e Integral.Mas Arquimedes não terminou os seus dias em paz. Sua fama maior é a de guerreiro. Hierão II mantinha um tratado de aliança com Roma e ele se manteve fiel. Após a sua morte, seu neto, Jerônimo, tomou o poder. Roma sofreu sua pior derrota em Canas e, durante certo tempo, pareceu prestes a ser esmagada, Jerônimo, desejoso de permanecer ao lado do vencedor aliou-se a Cartago. Mas os romanos ainda não estavam vencidos. Enviaram uma frota sob o comando do General Marcelo, contra Siracusa, dando inicio então a uma guerra de três anos, a que moveu a frota romana contra um único homem, Arquimedes.Segundo a tradição, os romanos teriam tomado a cidade rapidamente, não fossem as armas engenhosas inventada pelo grande cientista. Teria construído grandes lentes destinadas a incendiar a frota, guindastes mecânicos para levantar os navios e vira-los de cabeça para baixo, etc. Ao fim da história, parece que os romanos não se atreviam a se aproximar dos muros da cidade, fugindo ao menor fio que sobre eles surgisse convencido que o temível Arquimedes os estava destruindo com invenções novas e monstruosas.Durante o saque da cidade, Arquimedes, com um soberbo e erudito desdém para com a realidade, entregou-se a um problema matemático. Um soldado romano encontrou-o inclinado sobre uma figura geométrica desenhada na areia e ordenou-lhe que o acompanhasse. Arquimedes apenas respondeu por gestos: "Não perturbe meus círculos!”.O soldado romano, aparentemente um homem prático, sem tempo para brincar, matou Arquimedes e seguiu em frente. Marcelo, que havia dado ordens para capturar Arquimedes com vida e para tratá-lo com distinção, lamentou sua morte e ordenou funeral condigno, tratando os parentes do grande homem com relativa suavidade.

Arquimedes

Arquimedes foi um matemático, fisícoe inventor grego. Foi um dos mais importantes cientistas e matemáticos da antiguidade e um dos maiores de todos os tempos. Ele fez descobertas importantes em geometria e matemática, como por exemplo um método para calcular o número π (razão entre o perímetro de uma circunferêcia e seu diâmetro) utilizando séries. Este resultado constitui também o primeiro caso conhecido do cálculo da soma de uma série infinita. Ele inventou ainda vários tipos de máquinas, quer para uso militar, quer para uso civil. No campo da Física, ele contribuiu para a fundação da Hidrostática, tendo feito, entre outras descobertas, o famoso princípio que leva o seu nome. Ele descobriu ainda o príncipio da alavanca e a ele é atribuída a citação: "Dêem-me uma alavanca e um ponto de apoio e eu moverei o mundo".


Jéssica Lazaro de Oliveira 2°B

Arquimedes era um matematico e fisico,ele nasceu em Siracusa (Sicília) em 287 a.C. . Ele estudou em Alexandria.
Voltou mais tarde à sua terra natal.Foi considerado por muitos historiadores um dos maiores matemáticos de todos os tempos.

As principais obras de Arquimedes foram sobre:

☻A esfera e o cilindro
☻Os conóides e os esferóides
☻As espirais
☻A medida do círculo
☻A quadratura da parábola
☻O Arenário (contador de areia)
☻O Equilíbrio dos planos
☻Dos corpos flutuantes
☻O stomachion jogo geométrico
☻O problema dos bois

Euler na Matemática

Geometria
Na área da Geometria, numa primeira abordagem, o seu reconhecimento deve-se ao uso das letras minúsculas a, b, c para os lados de um triângulo e das maiúsculas correspondentes A, B, C para os ângulos opostos, bem como a aplicação das letras r, R e s para o raio dos círculos inscrito e circunscrito e o semiperímetro do triângulo, respectivamente. Há a destacar, também, a “(...) bela fórmula (...)” (Boyer, 1974, p. 326):
4rRs = abc
que relaciona os seis comprimentos, referidos anteriormente, embora hajam resultados semelhantes na Geometria da Antiguidade.
No campo da Geometria Sintética o seu contributo não foi muito, apesar de actualmente se considerar a recta que contém o circuncentro, o ortocentro e o baricentro de um triângulo, como a recta de euler.Em Geometria Analítica fez-se notar, a partir de 1728, por usar coordenadas no espaço, por dar equações gerais para três grandes classes de superfícies – cilindros, cones e superfícies de revolução - e por definir o arco mais curto (geodésica) entre dois pontos de uma superfície cónica.
Análise e Cálculo
Os contributos de Euler no ramo da análise e do cálculo fizeram-se notar com a introdução de uma nova abordagem à resolução de equações diferenciais.
“Euler foi, sem dúvida, o maior responsável pelos métodos de resolução usados hoje nos cursos introdutórios sobre equações diferenciais, e até muitos dos problemas específicos que aparecem em livros de texto de hoje remontam aos grandes tratados que Euler escreveu sobre o Cálculo – Institutiones Calculi Differentialis (1755) e Institutiones Calculi Integralis (1768 – 1770, 3 volumes)”. (Boyer, 1974, p. 333)
Através destes quatro volumes, deu a conhecer o uso de factores integrantes, os métodos sistemáticos para resolver equações lineares de ordem superior com coeficientes constantes, bem como a distinção entre equações lineares homogéneas e não-homogéneas, e entre solução particular e solução geral. Foi, desde então, que se pode afirmar que o tratamento mais completo realizado na área do cálculo se deveu a Euler.
Probabilidades
O interesse de Euler pelo estudo das Probabilidades, impulsionado por Daniel (1700-1782) e Nicolaus Bernoulli, também se fez notar. Escreveu sobre expectativas de vida, o valor de uma anuidade, lotarias, entre outros aspectos da vida em sociedade e como seria previsível, contribuiu, também, com algumas notações.

Leonard Euler, o matemático.

Euler legou à posteridade um número assombroso de trabalhos sobre as mais diversas áreas, da Engenharia à Mecânica, da Óptica à Astronomia, da Música à Matemática (curvas, séries, cálculo de variações, cálculo infinitesimal, Geometria, Álgebra).
Produziu tanto durante a sua vida que durante quase 50 anos depois da sua morte, os seus artigos continuaram a ser publicadas na Academia de S. Petersburgo. A lista bibliográfica das suas obras, incluindo itens póstumos, contém 886 títulos. A sua pesquisa Matemática chegava a ser, em média, de 800 páginas por ano, durante toda a sua vida.
No tempo em que esteve em Berlim, Euler ganhou o hábito de escrever artigos e colocá-los numa pilha. Sempre que era necessário material para as publicações da Academia eram retirados artigos da mesma. Como a produção de Euler era superior às publicações, os artigos na base demoravam muito a ser publicados. Isso explica o facto de quando alguns artigos surgirem, extensões e melhorias dos mesmos já terem sido publicadas antes, com a assinatura de Euler.
Jamais algum matemático terá superado a produção deste homem.

Exercícios sobre Prismas - Para Nota

Exercícios sobre Prismas, para nota. Entregar dia 27/11 (quinta-feira)

55 - Qual é a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um prisma reto de altura igual a 8 cm, cuna base é um triângulo retângulo de catetos 3 cm e 4 cm?

56 - A altura de um prisma triangular regular é igual a 10 cm. Calcule a área lateral, a área total e o volume desse prisma sabendo-se que o perímetro da base é igual a 18 cm.

59 - Um prisma triangular regular tem 4 cm de altura. Calcule o volume, sabendo-se que a aresta da base desse prisma mede 2 cm.

60 - A base de um prisma reto é um triângulo retângulo cujos catetos medem 5 cm a 12 cm. Calcule a área da base, a área lateral e a área total desse prisma cuja altura é igual a 10 cm.

61 - Calcule a diagonal, a área total e o volume de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 2 cm, 4 cm e 6 cm.

64 - Se o volume de um cubo é 27 cm³, calcule a aresta e a área total desse cubo.

65 - Se a área total de um cubo é 150 m², calcule a aresta e o volume desse cubo.

Leonhard Euller

Euller nasceu em Brasilia.Foi um aluno de jean Bernoulli e amigo de seu filho Nicolaus e daniel,recebendo instrução em teologia,medicina,astronomia,física,linguas orientais e matematica.
Como auxilio de Bernouli entrou para a academia de S.Peterburgo,fundada por Catarina I.Em 1730 passando a seção de filosofia por ocasião de morte de Nicolaus e afastamento de Daniel tornando-se o principal matematico já aos vinte e seia anos ,dedicou-se profundamente á pesquisa compondo uma quantidade inigulável de artigos inclusive para a revista de academia.
Em 1735 perdeu a visão do olho direito,mas suas pesquisas continuaram intensas chegando a escrever até mesmo enquanto brincava com seu filho
Ele foi o primeiro a tratar dos logaritimos como expoentes e com ideia correta sobre logaritimos de numeros negativos.


Francini athayde 2°B

Euller

Leonhard Euller nasceu em basileia,Suíça,onde seu pai era ministro religioso e possuia alguns conhecimentos matemáticos.
Euller foi aluno de Jean Bernoulle e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel.
Com o auxílio de Bernoulli entrou para a academia de S. Petesburg,ocupando um lugar na seção de Medicina e Fisiologia, e em 1730 passando a seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de Daniel.Tornando-se o principal matemático já aos vinte e seis anos,dedicou-se profundamente à pesquisa compondo uma quantidade inigualável de artigos,inclusive para a revista da academia.