Euler na Matemática

Geometria
Na área da Geometria, numa primeira abordagem, o seu reconhecimento deve-se ao uso das letras minúsculas a, b, c para os lados de um triângulo e das maiúsculas correspondentes A, B, C para os ângulos opostos, bem como a aplicação das letras r, R e s para o raio dos círculos inscrito e circunscrito e o semiperímetro do triângulo, respectivamente. Há a destacar, também, a “(...) bela fórmula (...)” (Boyer, 1974, p. 326):
4rRs = abc
que relaciona os seis comprimentos, referidos anteriormente, embora hajam resultados semelhantes na Geometria da Antiguidade.
No campo da Geometria Sintética o seu contributo não foi muito, apesar de actualmente se considerar a recta que contém o circuncentro, o ortocentro e o baricentro de um triângulo, como a recta de euler.Em Geometria Analítica fez-se notar, a partir de 1728, por usar coordenadas no espaço, por dar equações gerais para três grandes classes de superfícies – cilindros, cones e superfícies de revolução - e por definir o arco mais curto (geodésica) entre dois pontos de uma superfície cónica.
Análise e Cálculo
Os contributos de Euler no ramo da análise e do cálculo fizeram-se notar com a introdução de uma nova abordagem à resolução de equações diferenciais.
“Euler foi, sem dúvida, o maior responsável pelos métodos de resolução usados hoje nos cursos introdutórios sobre equações diferenciais, e até muitos dos problemas específicos que aparecem em livros de texto de hoje remontam aos grandes tratados que Euler escreveu sobre o Cálculo – Institutiones Calculi Differentialis (1755) e Institutiones Calculi Integralis (1768 – 1770, 3 volumes)”. (Boyer, 1974, p. 333)
Através destes quatro volumes, deu a conhecer o uso de factores integrantes, os métodos sistemáticos para resolver equações lineares de ordem superior com coeficientes constantes, bem como a distinção entre equações lineares homogéneas e não-homogéneas, e entre solução particular e solução geral. Foi, desde então, que se pode afirmar que o tratamento mais completo realizado na área do cálculo se deveu a Euler.
Probabilidades
O interesse de Euler pelo estudo das Probabilidades, impulsionado por Daniel (1700-1782) e Nicolaus Bernoulli, também se fez notar. Escreveu sobre expectativas de vida, o valor de uma anuidade, lotarias, entre outros aspectos da vida em sociedade e como seria previsível, contribuiu, também, com algumas notações.