A ANÁLISE COMBINATÓRIA – Um resumo do 3º. Bimestre

Um pouco de História

Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).

A ANÁLISE COMBINATÓRIA é um dos tópicos que a Matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação de quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los.
Na análise combinatória estudamos dentro do princípio fundamental da contagem:- Fatorial - Arranjos simples - Permutação simples - Combinação - Permutação com elementos repetidos


Um rapaz possui 4 bermudas e 4 camisetas. De quantos modos diferentes ele pode se vestir, com essas roupas?

“b” - bermuda

“c” - camiseta

O quadro mostra que existem 4 . 4 = 16 modos diferentes para o rapaz vestir suas roupas.



Fatorial (!)

Sendo n um número natural maior que 1, definimos como fatorial de n (n!) o número:
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1
Lê-se n! como n fatorial. Observe os exemplos a seguir: 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 3! = 3 . 2 . 1 = 6 Por definição, para n = 0, temos 0! E, para n = 1, 1! = 1

Permutação simples (Mudança de elementos)

Permutações simples Os arranjos simples, de classe n, de n elementos distintos são denominados permutações simples desses n elementos. Por exemplo, se A = {1, 2, 3}, as permutações simples de seus elementos são: 123, 132, 213, 231, 312 e 321.

Permutações com elementos repetidos

Vamos considerar o número de anagramas da palavra Banana. Cada anagrama solicitado é uma permutação das letras B, A, N, A, N, A. Temos 6 letras; se todas fossem diferentes, teríamos P6= 6! = 720 anagramas.

Fixando a letra A em 3 dessas posições, assim teremos um único anagrama, pois há permutação de 3 letras. A entre se não cria novos anagramas.

Portanto o número de anagramas da palavra BANANA é:

Consideremos n elementos:
O número Pn (n1: n2: ...: nk) de permutações desse elementos será calculado por:

Arranjos Simples

Sendo A um conjunto com n elementos distintos e p um número natural, de modo que p ≤ n, denominamos de arranjos simples dos n elementos de A, tomados p a p, os agrupamentos ordenados de p elementos diferentes que é possível formar com os elementos de A. O número p é denominado de ordem ou classe do arranjo. Indicamos o número de arranjos de n elementos, p a p, por An,p ou Apn. A fórmula de arranjos simples é:

Combinações Simples

Sendo A um conjunto com n elementos distintos e p um número natural e modo que p ≤ n, denominamos de combinações simples dos n elementos, tomados p a p, os agrupamentos de p elementos distintos e que diferem entre si somente pela natureza de seus elementos. O número p é denominado classe ou ordem da combinação. O número de combinações simples, de classe p, de n elementos é denotado por Cn, p ou Cnp. A formula geral é:

Arranjo ou Combinação ?

Ao resolvermos uma situação problema de análise combinatória encontraremos um agrupamento, é nesse momento que aparece a seguinte dúvida: “esse agrupamento é uma combinação ou um arranjo?”.

É preciso identificar corretamente que tipo de agrupamento o exercício está trabalhando, para isso é possível utilizar o seguinte critério: Escrevemos um dos agrupamentos que o exercício sugere, mudamos a ordem dos seus elementos. A partir dessa mudança iremos concluir que:

• Será um arranjo se essa mudança alterar o agrupamento original, pois sabemos que um arranjo pode ser diferenciado tanto pela natureza de seus elementos como pela ordem desses elementos.

• Será uma combinação se essa mudança não alterar o agrupamento original, pois sabemos que uma combinação é um arranjo que se difere apenas pela alteração na natureza de seus elementos.

Veja o exemplo de como fazer essa verificação.

Exemplo: Um pintor, dispondo de cinco cores diferentes de tinta pretende misturar três delas, em quantidades iguais, para obter uma nova cor. Quantas novas cores ele poderá obter?

Verificando se os agrupamentos sugeridos são arranjos ou combinações: Vamos supor que as cinco cores que o pedreiro possui são: amarelo, branco, verde, vermelho, azul.

Escolhendo um dos agrupamentos formados pela combinação de 3 tintas teremos: {azul, amarelo, branco}, se mudarmos a ordem desses elementos {amarelo, branco, azul} não irá alterar o agrupamento, portanto os agrupamentos montados serão combinações simples. Pra encontrar a quantidade de combinações possíveis basta aplicar a fórmula:

Portanto, é possível montar 10 combinações de 3 tintas com o grupo de 5 tintas