Angulos


Geometria III - Ângulos e Triângulos
ÂNGULOS
Chama-se ângulo, a figura plana limitada por duas semi-retas de mesma origem. Na figura abaixo, podemos observar que as semi-retas OA e OB determinam dois ângulos: um de abertura a (ângulo convexo) e outro de abertura b (ângulo côncavo). O ângulo convexo é indicado por BÔA e a é a medida deste ângulo.
Temos: OA e OB = lados do ângulo e O = vértice do ângulo BÔA.
Medidas de ângulos A principal unidade de medida de ângulos é o grau (símbolo º). Um ângulo raso (aquele formado por duas semiretas opostas, como o mostrado na figura abaixo), mede 180º .
A metade de um ângulo raso, é denominado ângulo reto , e sua medida é 90° .
Concluimos que o ângulo de uma volta completa, corresponde a dois ângulos rasos ou a quatro ângulos retos e portanto sua medida é 360° .
Dividindo-se um ângulo reto em 90 partes iguais, obteremos 90 ângulos de medida 1º cada, sendo portanto 1º a unidade fundamental da medida de ângulos. Esta unidade pode também ser subdividida em unidades menores - o minuto (') e o segundo (") - de forma que:1 grau = 60 minutos e 1 minuto = 60 segundosSimbolicamente: 1º = 60' e 1'= 60"
O uso destas subdivisões do grau, justificam-se nas medidas de ângulos nas quais se requer alto grau de precisão.
Valem ainda, as seguintes definições:
· Ângulo agudo - é aquele cuja medida situa-se entre 0° e 90° .
· Ângulo obtuso - é aquele cuja medida situa-se entre 90° e 180° .
· Ângulos complementares - são aqueles cujas medidas somam 90° . Dizemos que cada um deles é o complemento do outro. Exemplo: 34° é o complemento de 56° e vice-versa , pois 34° + 56° = 90° .
· Ângulos suplementares - são aqueles cujas medidas somam 180° . Dizemos que cada um deles é o suplemento do outro.Exemplo: 48° é o suplemento de 132° e vice-versa, pois 48° + 132° = 180° .
· Ângulos congruentes - são aqueles que possuem medidas iguais. Assim, por exemplo todos os ângulos retos são congruentes, todos os ângulos de medida 60° são congruentes, etc.
· Ângulos opostos pelo vértice - como o próprio nome indica, são aqueles cujos lados de um são os prolongamentos dos lados do outro. Vale aqui, a seguinte proposição, facilmente demonstrável:"Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida".Veja que os ângulos de medidas a e b são congruentes, e, também os ângulos de medidas c e d são também congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.
· Retas perpendiculares - são aquelas retas concorrentes (isto é, aquelas que possuem um único ponto em comum) que formam entre si quatro ângulos retos.
Se duas retas r e s são perpendiculares, indicamos isso através do símbolo: r^ s.
· Bissectriz de um ângulo - é a semi-reta que partindo do vértice, determina dois ângulos congruentes ( ou seja, de mesma medida).
Axioma: Todo ângulo, possui uma única bissectriz.
RETAS PARALELAS
Duas retas distintas r e s são paralelas, e indica-se r//s , quando estando contidas num mesmo plano (coplanares) , e não possuem ponto em comum.
Dadas duas retas paralelas, chama-se reta transversal qualquer reta que intercepte ambas as retas. Observamos na figura, que ficam determinados oito ângulos de medidas a, b, c, d, e, f, g e h que recebem denominações especiais a saber:
ângulos correspondentes: b e f, a e e, d e h, e c e g.ângulos alternos internos: d e f, e c e e.ângulos alternos externos: b e h, e a e g.ângulos colaterais internos: d e e, e c e f.ângulos colaterais externos: b e g, e a e h.
Observa-se que:• os ângulos correspondentes são congruentes (medidas iguais)• os ângulos alternos são congruentes (medidas iguais).• os ângulos colaterais são suplementares, isto é, somam 180° .
TRIÂNGULOS
Dados 3 pontos A , B e C , não colineares, isto é , não alinhados , chama-se Triângulo à região do plano limitada pelos segmentos AB , AC e BC , denominados lados , sendo A , B e C os seus vértices. Os ângulos internos são representados por Ð A , Ð B e Ð C , ou simplesmente A , B e C.
Na figura acima, teremos então:
· Soma dos ângulos internos: x + y + z = 180º
· Soma do ângulos externos: E1 + E2 + E3 = 360º
· Em todo triângulo, um ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes, ou seja:E1 = y + zE2 = x + yE3 = x + z
Vamos provar as três propriedades acima:
A primeira é imediata, a partir da observação atenta da figura abaixo, se lembrarmos que os ângulos alternos internos possuem a mesma medida. Assim, x = m e y = n. E como sabemos que z + m + n = 180º, vem finalmente: x + y + z = 180º.
Para provar a segunda, basta observar que x + E1 = z + E2 = y + E3 = 180º.Logo, podemos escrever: (x + E1 ) + ( z + E2 ) + ( y + E3 ) = 180º + 180º + 180ºArrumando convenientemente, vem:x + y + z + E1 + E2 + E3 = 540ºE como x + y + z = 180º , substituindo, vem:180º + E1 + E2 + E3 = 540ºDe onde finalmente tiramos: E1 + E2 + E3 = 360º Para provar a terceira, observe que podemos escrever:x + y + z = 180º = x + E1, de onde tiramos: E1 = y + z. Os outros casos, são análogos.
Outra propriedade importante dos triângulos é que a medida de qualquer lado é menor que a soma das medidas dos outros dois.Sendo a , b e c as medidas dos lados de um triângulo qualquer, teremos sempre:a < b + cb < a + cc < a + bconhecidas como Desigualdades Triangulares.
DICA: se um triângulo possui dois lados medindo a e b, o terceiro lado estará compreendido entrea - b e (a + b).Assim, por exemplo, se um triângulo possui dois lados de medidas 10 e 30, o terceiro lado estará compreendido entre 30-10 e 30+10, ou seja, entre 20 e 40.
Os triângulos podem ser classificados quanto à medida dos lados em:
EQUILÁTEROS: medidas dos lados iguais; como consequencia disto , os 3 ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes, isto é , possuem a mesma medida e, portanto cada ângulo mede 60° .
ISÓSCELES: possuem dois lados com medidas iguais. O terceiro lado chama-se base.Verifica-se facilmente, que os ângulos da base de um triângulo isósceles possuem medidas iguais, ou seja, são congruentes.
ESCALENO: possui os tres lados desiguais.
Infere-se , portanto, que todo triângulo equilátero é isósceles, o que significa que o conjunto de todos os triângulos equiláteros é um subconjunto do conjunto de todos os triângulos isósceles.
Os triângulos podem ser classificados quanto às medidas dos ângulos internos , em:
RETÂNGULO: possuem um ângulo reto ( 90° ). O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa e os outros 2 lados, são chamados catetos.
ACUTÂNGULO: todos os ângulos são agudos.
OBTUSÂNGULO: possui um ângulo obtuso.
Elementos lineares de um triângulo.
Mediana - é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Conclui-se que todo triângulo possui 3 medianas; o ponto de interseção das 3 medianas de um triângulo, encontram-se em um ponto denominado BARICENTRO ou CENTRO DE GRAVIDADE do triângulo.
Altura - é o segmento que une um vértice ao lado oposto (ou ao prolongamento deste), sendo perpendicular a esse lado. As 3 alturas de um triângulo passam por um mesmo ponto, chamado ORTOCENTRO do triângulo.
Bissectriz interna - é o segmento que divide cada ângulo interno do triângulo, em 2 ângulos iguais. As 3 bissectrizes internas de um triângulo passam por um ponto chamado INCENTRO do triângulo. O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo, isto é , da circunferência que tangencia os 3 lados do triângulo.
Mediatriz - é a reta perpendicular ao lado, passando pelo ponto médio do mesmo. As 3 mediatrizes de qualquer triângulo passam por um mesmo ponto, chamado CIRCUNCENTRO, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é , da circunferência que passa pelos 3 vértices do triângulo.
TEOREMA DE TALES
Um feixe de paralelas determina sobre duas retas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. Assim, na figura abaixo, o teorema de Tales nos permite escrever:
O teorema de Tales ( matemático grego, do século VI a.C.) é um dos mais importantes da Geometria, pois, dele, se deduzem como consequências, outros teoremas importantes, como os casos de semelhança de triângulos, o teorema de Pitágoras, etc, temas que serão abordados em breve.
Para encerrar por hoje, vamos resolver a questão a seguir:Na figura abaixo, temos BG//CF//DE. Pede-se calcular o valor de a, b e c, sabendo-se que a soma a + b + c = 45.
Pelo Teorema de Tales, podemos escrever:
Usando uma propriedade das proporções, podemos escrever também:
Portanto, a = 21, b = 9 e c = 15.
Paulo Marques, 31/10/1999 - Feira de Santana - BA.
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