Por que a circunferencia trigonométrica tem raio 1?

Normalmente as pessoa respondem a essa pergunta dizendo o seguinte: nas definções dadas a tangente e secante (bem com nas definiçoes de seno e cosseno), figura sempre o raio R do circulo no denominador. Se supusermos r=1, as formulas simplificarão bastante.
Tal explicação deve ser complementada com a observação de que tomar r=1 corresponde a escolher o (comprimento do) raio como unidade de medida. Como todas as linhas trigonométricas são quocientes entre duas medidas, o valor de cada uma delas se mantém inalterado quando elas passam de uma unidade para outra. Por isso não faz mal convencionar r=1.
No fundo, oque ocorre é que na geometria euclidiana, embora haja uma unidade natural para medir angulo (o radiano) não há uma unidade de comprimento que possa ser escolhida de modo canônico, isto é, independentemente das escolhas arbitrárias. Isso contrasta com a Geometria Hiperbólica (de Lobatchevski e Bolyai), na qual existe uma medida natural para os comprimentos , e portanto para areas e volumes.